Tratamos as quantidades de maneira bastante informal até aqui. De acordo com nossa abordagem, um número não passa de um nome dado a uma quantidade conhecida, levando em conta que o conceito de quantidade estaria enraizado em nós, graças ao nosso senso numérico.
Este modo de ver, está estreitamente de acordo com a forma de pensar dos intuicionistas. Mas a matemática, apesar de dever muito do seu progresso a abordagens intuitivas, sempre primou pelo estabelecimento de um grau de rigor o mais extremo possível, no intuito de evitar ambiguidades. E a ferramenta utilizada para restringi-la, ou mesmo reduzi-la a termos não intuitivos, foi a lógica.
O Matemático alemão Gotlob Frege, acreditava que os fundamentos da matemática poderiam ser definidos exclusivamente através de relações lógicas. Para isto, ele tenta estabelecer os parâmetros de uma linguagem logicamente perfeita, a qual seria capaz de expressar de forma adequada as relações entre entidades matemáticas. Frege publica seus trabalhos por volta de 1870. Seu posicionamento foi defendido pelo filósofo Bertrand Russel, que procurava desenvolver um instrumento lógico rigoroso.
As ambições de Frege eram enormes. Para ele, a lógica era a matriz de tudo que sabemos. A matemática em si, era um produto da lógica. Para que o leitor tenha uma ideia deste ponto de vista, vejamos como Frege definia os números.
O número cardinal que se atribui ao conceito F, é a extensão do conceito equinumérico de F.
Com o objetivo de elucidar seu enunciado, Frege faz uso do exemplo :
Uma vez que nada cai sobre o conceito "desigual a si mesmo", estabeleço que 0 é o número cardinal atribuído ao conceito "desigual a si mesmo". (...) Do mesmo modo, 1 é o número cardinal atribuído ao conceito "igual a 0".
Note portanto, que para Frege, a lógica (e seus conceitos) está em uma posição anterior a matemática. Sem a lógica, não haveria matemática alguma. Este tipo de crença é chamado Logicismo.
O Logicismo não era consenso na comunidade matemática da época. Hilbert por exemplo, acreditava que a matemática e lógica eram áreas de conhecimento afins, mas não havia uma supremacia de uma sobre a outra. Para Hilbert, uma disciplina matemática deveria ser descrita por uma série mínima de axiomas não contraditórios em termos lógicos, a partir dos quais pudéssemos concluir todas as verdades sobre ela. Um axioma seria considerado verdadeiro, se não apresentasse nenhuma contradição lógica. A esse respeito, a posição de Frege é completamente oposta. Para este, a falta de contradição lógica se deve ao fato do conjunto de axiomas serem verdadeiros. O ponto de vista defendido por Hilbert, é denominado Formalismo.
Em 1888, Richard Dedekind, um formalista assumido, publica o seu famoso "Os números : O que são e para que servem ?". Neste trabalho, é oferecida uma axiomatização da teorias dos números, baseada no seguinte modelo :
(a) 1 é um número ;
(b) O sucessor de todo número, é um número ;
(c) Números distintos possuem sucessores distintos ;
(d) 1 não é sucessor de nenhum número ;
(e) O conjunto de números Naturais é o menor conjunto S, tal que 1 pertence a S e o sucessor de todo elemento de S pertence a S.
Se compararmos esta definição de Dedekind com a proposta por Frege, notaremos que, apesar de tão diferentes, tanto o Formalismo como o Logicismo, eram escolas que defendiam o rigor aplicado à matemática, o qual seria obtido através da lógica. Com base na Teoria dos Conjuntos e na lógica, a matemática passava por uma profunda reestruturação. Este dois ramos representavam portanto, a base teórica sobre a qual todo conhecimento abstrato seria construído. Sabia-se desde o princípio que o trabalho de descrever absolutamente toda a matemática nestes termos seria árduo. Mas esperava-se que ao final, uma ciência enxuta, completa e perfeita, emergisse. A matemática atingiria um estado de graça que nenhum outro conhecimento humano sequer se aproximaria. Foi antes um filósofo (Russel) que jogou água fria nos objetivos dos Logicistas. Já os Formalistas ficaram de pernas bambas ao lerem os artigos do tímido matemático Gödel.
No dia 16 de junho de 1902, às vésperas da publicação do segundo volume da sua aclamada obra, "Fundamentos da Aritmética", Frege recebe uma carta do filósofo Bertrand Russel. Nesta, Russel declara sua dificuldade em interpretar o seguinte problema lógico :
Seja C o conjunto de todos os conjuntos que não pertençam a si próprios. C pertence a C ?
Calma, leitor. A construção mental de tal conjunto é realmente um pouco confusa. Mas o problema pode se evidenciado se considerarmos apenas os aspectos lógicos. Temos apenas duas respostas possíveis. Ou C pertence a C, ou C não pertence a C. Porém, se considerarmos que C pertence a C, teremos uma grave contradição, pois C foi definido como :
“o conjunto de todos os conjuntos que NÃO PERTENÇAM a si mesmo”.
Só nos resta então concluir que C não pertence a C. Mas isto também fere nossa definição, pois C é :
“o conjunto de TODOS os conjuntos que não pertençam a si mesmo”.
Ao afirmarmos que C não pertence a C, estaremos dizendo que C é :
“o conjunto de QUASE TODOS os conjuntos que não pertençam a si mesmo”.
Este paradoxo, conhecido como paradoxo de Russel, tem a poderosa propriedade de colocar em dúvida tanto a lógica quanto a Teoria dos Conjuntos de uma única tacada. Os dois pilares que apoiariam a tão perseguida reestruturação, tinham agora rachaduras enormes. Logo verificou-se que era possível remendar estas rachaduras. Optou-se portanto, por manter-se a lógica clássica intacta e tentar verificar que modificações seriam necessárias na Teoria dos Conjuntos para eliminarmos os paradoxos. Afinal, de certa forma o paradoxo de Russel deixou claro que era possível definir coleções que representassem uma totalidade, mas que ao final, as mesmas não constituiriam essa totalidade. Isto parecia um defeito mais da Teoria dos Conjuntos do que da lógica. Mas até que o remendo fosse aplicado, a lógica de Frege estaria sob suspeição permanente.
Giuseppe Peano, um dos grandes defensores do Formalismo, sugere um conjunto de axiomas para definir os números Naturais. A definição em si, assemelha-se demais aos axiomas propostos por Dedekind, mas existem pelo menos dois aspectos nos quais as definições diferem. Um deles é a linguagem utilizada. Peano desenvolve uma linguagem simbólica consistente na qual todas as relações lógicas seriam descritas. E é por meio desta nova linguagem que seus axiomas são estabelecidos . Outra diferença é que Peano, ao contrário de Dedekind, não utiliza definições relacionadas à Teoria dos Conjuntos. Depois do abalo sofrido por esta teoria, sua abordagem parece ser vantajosa.
Peano admite que três conceitos devem ser aceitos sem definição. Estes conceitos são "número", "zero" e "sucessor". O conceito de "número" é diferente dos outros dois, por tratar-se de um tipo, ou espécie, ou mesmo a natureza dos conceitos de "zero" e "sucessor". Desta forma, "zero" é um objeto do tipo "número", do mesmo modo que o "sucessor" de um objeto do tipo "número" também será um objeto do tipo "número". Se considerarmos x como um objeto do tipo "número", o sucessor de x pode ser referenciado como s(x).
A partir deste ponto, Peano arrisca-se na definição de todos os objetos do tipo "número". Estando todos estes objetos definidos, o próprio conceito de "número" estará também definido. Valendo-se de sua linguagemformal, Peano espera atingir seu objetivo com nada mais do que 3 simples afirmações :
Aqui vale registrar que podemos fazer um paralelo entre as definições de Peano e as de Dedekind. Os conceito de número é tomado sem definição por ambos. Peano define "zero" e "sucessor" como números, assim como Dedekind o fez em (a) e (b) (O símbolo 1 de Dedekind tem o mesmo significado do conceito “0” de Peano). A afirmativa (1) de Peano pode ser traduzida por :
Qualquer que seja o “número” x, seu "sucessor" não será “zero”.
Observe a profunda semelhança entre esta afirmativa e a afirmativa (d) de Dedekind. Assim como Dedekind o fez em (c), Peano define em sua segunda afirmativa que :
Sejam dois “números” x e y, se o "sucessor" de x for igual ao "sucessor" de y, então x e y serão o mesmo “número”.
Se ignorarmos o aspecto conciso dado pela linguagem utilizada, Peano até agora não trouxe nenhuma definição nova. Ele limita-se às mesmas afirmações feitas por Dedekind. Considerando-se "zero” e "sucessor" como objetos de natureza “número”, Peano afirma em (1) que o objeto "zero" não é "sucessor" de nenhum outro objeto deste tipo. Já em (2), afirma-se que cada objeto do tipo “número” está relacionado a apenas um "sucessor". O próprio conceito de "sucessor" deve ser visto como uma relação entre dois “números”. Logo, seja um objeto qualquer do tipo ''número'' (chamemos este objeto de x), existe um e somente um objeto do tipo ''número'' que relaciona-se com x de uma forma peculiar, tal que podemos chamar este objeto de "sucessor" de x, ou s(x).
Porém, a afirmação (3) é de uma originalidade não encontrada nas anteriores. Esta afirmação pode ser traduzida como :
Dada uma propriedade qualquer. Se esta propriedade for verificada por "zero", e ainda, se a observação desta propriedade em um “número” qualquer, implicar que esta propriedade será observada em seu "sucessor", então esta propriedade será observada em todos os objetos do tipo “número”.
A diferença de complexidade entre esta afirmativa e as demais é gritante. E esta afirmativa é o verdadeiro núcleo dos "Axiomas de Peano" no tocante à definição dos números Naturais. Aqui está a grande diferença entre Peano e Dedekind. Aqui, Peano lança mão do conceito conhecido como indução completa, para definir todos os objetos do tipo ''número''. Compare com a afirmativa (e) de Dedekind, onde este vale-se de conceitos da Teoria dos Conjuntos para atingir o mesmo intento. Por ter conseguido evitar definições contendo conceitos desta questionada teoria, e ainda, por utilizar uma linguagem formal, supostamente isenta de ambiguidades, Peano consegue que seus axiomas ganhem cada vez mais aceitação entre os matemáticos e filósofos de sua época.
Seu modelo foi rapidamente adotado por Russel, entre outros, pelo fato deste ter logo percebido a força embutida na linguagem definida por Peano. Mas a adoção deste modelo não resolveu a crise criada pela carta de Russel a Frege. O paradoxo de Russel poderia muito bem significar que a lógica afinal, não possuía a consistência que lhe atribuíam, apesar de que este filósofo não ter pretendido destruir os trabalhos de Frege. Ao contrário, Russel tinha a intenção de ampliá-lo, e perseguiu insistentemente uma formulação mais concisa. Ele e outros Logicistas, tentaram portanto corrigir a Teoria dos Conjuntos para diminuir a chuva de paradoxos que caía de todos os lados. O mesmo esforço era empreendido pelos Formalistas, visto que as duas escolas baseavam-se tanto na lógica quanto nesta teoria. A existência de conjuntos infinitos (ou do infinito completado) era fundamental tanto para os Logicistas quanto para os Formalistas. Mas o problema principal destes últimos era outro. O pai do Formalismo, Hilbert, tinha como principais objetivos :
(a) Exprimir a matemática clássica em um sistema axiomático formal ;
(b) Demonstrar que este sistema era consistente (não contraditório).
Parte deste trabalho já havia sido feito. Se provara, por exemplo, que a consistência da geometria Euclidiana, implicava na consistência das geometrias não-euclidianas. Mas Hilbert ambicionava demonstrar a consistência absoluta da matemática. Para isto, criou a metamatemática (ou Teoria da Demonstração), cujos objetos são justamente as deduções matemáticas. Assim, Hilbert denomina de fórmula, o que os teóricos conheciam como axiomas, teoremas e mesmo deduções. A seguir, sintetiza os pressupostos de seu programa com as afirmativas :
(1) Todas a proposições matemáticas podem ser reduzidas a fórmulas ;
(2) Os axiomas são, deste modo, as fórmulas que fundamentam a matemática ;
(3) Uma demonstração é uma sucessão finita de fórmulas ;
(4) Se existir uma demonstração em que uma determinada fórmula seja o último passo, essa fórmula se dirá demonstrável.
Com base nestes quatro pontos, Hilbert espera não só provar a consistência absoluta da matemática, mas também sua completude, ou seja, de que qualquer afirmação matemática poderia ser provada ou refutada. Mas Kurt Gödel demonstrou que era impossível conciliar estas duas propriedades. Ou melhor, que se os teoremas de Peano são verdadeiros, então existirão verdades que não serão teoremas. Gödel demonstra que a Aritmética de Peano não só é incompleta como também não é passível de ser completada. Estas afirmações caíram como uma bomba sobre o sonho dos Formalistas. Os teoremas de Peano eram considerados um modelo axiomático perfeito, e tinham sido utilizados por Hilbert diversas vezes. Não poder demonstrar sua completude, por si só, já destruía todos os seus sonhos. Além disto, esta impossibilidade de completá-lo, sugeria fortemente que nenhum outro sistema axiomático se comportaria de modo diferente. O Formalismo portanto, sofria de dois abalos cruciais. Um proposto por Gödel, e outro por Russel.
Temos portanto, que os formalistas tinham seus problemas particulares, mas tinham também um grave problema comum aos logicistas. Ou corrigia-se a Teoria dos Conjuntos, ou abandonava-se a fé na matemática estabelecida até então. O próprio Hilbert se utilizara do conceito de infinito completado em suas demonstrações mais famosas. Não é portanto surpresa de que ele seja um dos maiores defensores da Teoria dos Conjuntos de Cantor e suas considerações sobre o infinito.
O remendo final foi dado pela teoria formal dos conjuntos (ZF), desenvolvida por Zermelo e Fraenkel. Podemos considerar que esta nova teoria é composta de apenas 9 axiomas. Um deles, conhecido como o axioma da escolha, garante a existência do infinito completado. A robustez da ZF é tão grande, que surge a tese de que a matemática clássica poderia ser definida como o conjunto de teoremas capazes de serem provados dentro desta teoria. Os logicistas ambicionam então, provar que todos os axiomas da ZF pertencem à lógica, e assim, demonstrar que é a partir desta que se deriva a matemática.
De qualquer modo, aceitando-se o axioma da escolha da ZF, estaremos também aceitando que os números descritos pelos axiomas de Peano podem ser tomados em sua totalidade.
Quanto a estes axiomas, resta ainda uma última consideração a fazer. Russel observa que Peano parte de três conceitos definidos a priori, que são o conceito de “número”, o conceito de “0” e o conceito de “sucessor”. Ora, podemos substituir o conceito de “0” pelo conceito de primeiro elemento, ou ponto de partida. A singularidade deste elemento inicial, seria de que ele é o único elemento do conjunto que não é “sucessor” de nenhum elemento. Todos os outros objetos do tipo “número”, são “sucessores”. Podemos, pelo modelo de Peano, definir este ponto de partida como 7 por exemplo, e definir a função “sucessor” de x como a soma de x consigo mesmo. Assim teríamos o conjunto :
A = { 7, 14, 28, 56, ... }
onde :
s(x) = 2 ⨯ x
Assim, podemos dizer que o conjunto A é um conjunto numérico que pode ser descrito pelos AP (Axiomas de Peano). Por outro lado, o conjunto :
B = { 56, 7, 28, 14, 112, ... }
não está de acordo com os AP, pois neste conjunto, a função "sucessor" não é evidente. Mas se conseguirmos demonstrar que :
disto resulta que :
(3) B = A
Mas se B = A, o que afinal nos fez achar que B não seria descrito pelos AP ? Certamente, a ordem de seus elementos. Poderemos dizer que os AP estabelecem primordialmente a ordem na qual os elementos do conjunto estarão dispostos. Uma das características dos conjuntos ordenados é que, dado qualquer elemento, podemos calcular o elemento seguinte. O conjunto de regras que já utilizamos para definirmos os nomes das quantidades é ordenado. Podemos afirmar que o sucessor de yaya é yayy (ou que o sucessor de 1010 é 1011). É relativamente fácil adequar nossa definição do conjunto de todos os nomes aos AP. Cabe então questionarmos qual o papel desta teoria aplicada aos Naturais. Estaria esta aplicação relacionada à própria definição destes números, ou apenas à ordem em que estes estariam dispostos ? Uma coisa é certa. Qualquer conjunto que seja definido de acordo com estes axiomas, estará ordenado. Por outro lado, qualquer conjunto desordenado que nos permita por algum artifício ordená-lo, ou mesmo relacionar seus elementos aos de um conjunto ordenado, poderá ser visto como um conjunto sujeito aos AP.
Agora voltemos ao problema descrito no primeiro capítulo. Existe algo como "o conjunto infinito de todas as pedras que nosso poder inesgotável de materializar pedras pudesse materializar" ? Uma boa reposta seria :
- De acordo com o axioma da escolha da ZF, sim.
Poderíamos então encerrar aqui o assunto e o livro. Talvez até dar uma saída para conversar com os amigos sobre nossas conclusões. O problema é que este talvez seja o mais controvertido dos axiomas da ZF. Existe até mesmo uma teoria formal dos conjuntos chamada "ZF - sem o axioma da escolha".
Mas não voltamos exatamente à estaca zero. Os nomes que chamamos de NATURAIS podem ser descritos facilmente pelos Axiomas de Peano, queira estes representem a definição de sistemas numéricos ou apenas estabeleçam as condições para que tais sistemas possam ser considerados ordenados, e assim, sujeitos às operações aritméticas descritas. A verdade é que estamos agora, muito longe de onde partimos, limitados por nossas habilidades naturais de reconhecer |, ||, |||, |||| e "muitos". Voltaremos a falar dos AP no futuro. Antes, precisamos lembrar que nosso senso numérico não está relacionado apenas ao reconhecimento de quantidades. Somos obrigados a tratar do outro personagem inserido neste universo. Ele se chama magnitude.
Você não tem um corretor ortográfico ?
ResponderExcluirNão concordo que Peano pretendia "definir número" em seus axiomas.
Também não entendi o objetivo do texto.